簡介

這篇東西大部分都是直接搬 wiki 和其他論壇的,? 只是當作是一個匯總而已.? 內容大概為:? 討論 ζ 的收斂性,? 求出平凡零點,? 證明非平凡零點在臨界帶 0 < Re(s) < 1 上,? 以及證明 s = 1 時 ζ 有一個 1 階極點.

【資料圖】

原 ζ 函數的定義和收斂性

ζ 函數定義為:

并且在 Re(s) > 1 上收斂.? 證明:

?? 在實軸上收斂

根據定義可以有:

看到 ζ(s) 的值小于等于比例?q = 2^(1-s)?等比數列的無窮項和,? 根據等比數列無窮項和的收斂條件 |q| < 1?得出 s > 1 時 ζ(s) 收斂.

???在復平面上收斂

其中 σ = Re(s),? 里面的 ≤ 由三角不等式給出.? 于是證明了 ζ 在 Re(s) > 1 時收斂.

-

如果對 ζ 提取公因式,? 比如:

正如同所有正整數都可以表示為幾個質數的乘積一樣,? 把所有可能的公因式都提取出來后可以得到:

其中?Π_p 表示對所有質數求積.? 可以看到后面的求和實際上是等比數列的無窮項和,? 于是得出了 ζ 的歐拉乘積形式:

ζ 延拓到 Re(s) > 0

下面引入 Dirichlet η 函數:

η 在 Re(s) > 0 時收斂.? 證明:

由定積分的定義??給出:

同樣,? 其中的 ≤ 由三角不等式給出.? 注意到,? 上式的???實際上是對 x ≥ 1 的不連續定積分 (見下圖),? 并且因為 ?在 x ≥ 1 時恒大于 0,? 所以有

第一個等號僅在 -σ-1 < -1 時成立,? 即 σ > 0,? 所以 η 在 Re(s) > 0 時收斂.

-

觀察到 η 與?ζ 之間的聯系:

這個關系在 Re(s) > 1 時絕對守恒,? 所以通過定義??可以把 ζ 延拓到 Re(s) > 0 上.

η 在 Re(s) = 1 上的零點

根據兩個函數的聯系 ,? 通過分析 η 的行為,? 可以進一步推斷出 ζ 的行為.

解方程?:??,? ?,? 解得 .? 接下來求?:

定義兩個與 ζ, η 相似的函數:???和 ,? 并且兩函數有以下關系:

當 s = s_n 時,? 1-2^{1-s} = 0,? 即第一項為 0,? 所以

根據黎曼和?,? 可以得出:

當 n = 0,? 即 s_n = 1 時:

當 s ≠ 0 時,? 注意到 1-s_n 為純虛數,? 所以 :

.

由此可得,??.

ζ 在 Re(s) ≥?1 上的零點和 在 Re(s) > 0 上的極點

使用洛必達法則不難知道,? 1-2^{1-s} 的所有零點都是一階零點:?

根據 ζ 與?η 的關系可以知道:? ,? 因為如果 ζ 在 s_n 處為極點,? 那么?, 這于 η(s_n) = 0 沖突.? 同理,? ζ 在 s = 1 處有一階極點,? 并且 .

設函數 f, g 在某個 x 上分別為 m 階極點和 n 階零點,? 考慮 y =?f(x)g(x)?的值:? 如果 m < n, 那么 y = 0,? 并且是 n-m 階零點;? 如果 m = n,? 那么 y 為某個不為 0 的數;? 如果 m > n,? 那么 y 為 ∞,? 并且是 m-n 階極點.

因為 η 在 Re(s) > 0 上收斂,? 當??時,? ζ(s) 都必須收斂.? 綜上所述,? 就是 ζ 僅在 s = 1 有一階極點,? 而在其余 Re(s) > 0 上都收斂.

記 s = σ + i * t,? 有:

其中 exp 是指數函數,? 根據 ln 的泰勒展開??得

根據歐拉公式??得

由這個表達式可以求得:

其中求和項的括號有?,? 所以求和后必定 ≥ 0,? 即

當取? 時,? ζ(σ) 變為一階極點,? 那么這時式子說明:? 如果 ζ 在 1+it?為零點,? 那么在 1+2it?必為極點,? 這違反了上面 ζ 收斂的結論,? 所以在 Re(s) = 1 上?ζ 不存在零點.

對于 Re(s) > 1,? 由歐拉乘積形式的 ζ 可以知道:? 如果存在 s 使得?ζ(s) = 0,? 那么必定對于某個 p 有?, 然而這是不可能的,? 所以 ζ 在 Re(s) > 1 上不存在零點.

實際上,? ζ 在 Re(s) = 1 上不存在零點的結論等價于質數定理?(prime number theorem),? 但這個是之后的話題了,? 現在先關注 ζ 本身.

ζ 在 Re(s) ≤ 0 上的收斂性, 零點和極點

黎曼給出了把 ζ 延拓至整個復平面的函數方程 (functional equation),? 因此 ζ 得名黎曼 ζ 函數.? 這個函數方程為:

證明這個函數方程有點太復雜了,? 以后一定.? 其中?Γ 定義為:

這里也不會討論 Γ 相關的東西,? 并且也不在乎它可以延拓到 Re(s) < 0,? 只需要知道 Γ(s) 在 Re(s) > 0 上都是收斂的,? 并且都不等于 0.

上面分析了 Re(s) > 0 時 ζ(s) 只在 s = 1 有極點,? 而指數函數和 sin 都是在整個復平面上定義的函數,? 那么根據函數方程可以知道 ζ(s) 在 Re(s) ≤ 0, s ≠ 0 時不存在極點.? 由此,? 就把 ζ 延拓到整個復平面上了 (除了 s = 0, 1 兩點).? 實際上,? 因為有 η(0) = 1-1+1-1+...,? 右邊為 Grandi 級數,? 它的值等于 1/2,? 那么通過 ζ 與 η 的聯系可以得到 ζ(0) = -1/2.

注意到當 s 為負偶數時,? sin(π/2 * s) = 0,? 根據函數方程知道此時 ζ(s) 也為?0,? 這些"簡單可得"的零點被稱為平凡零點.? 綜上已經求得了 Re(s)?? (0, 1) 上的所有零點,? 而在臨界帶 0 < Re(s) < 1 里的零點稱為非平凡零點,? 黎曼認為非平凡零點的實部都為 1/2,? 這就是著名的黎曼猜想,? 黎曼猜想與數論息息相關,? 但這就是一個超級大坑了,? 之后再說吧.